本节书摘来自异步社区出版社《好学的C++程序设计》一书中的第1章，第1.1节，作者： 张祖浩 , 沈天晴，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.1 计算机怎样计数

好学的C++程序设计

1.1.1 乒乓球场上的计分牌

我们知道，乒乓球球场上的计分牌有0、1、2、3、4、5、6、7、8和9，共10种牌。计分时，逢十进一，叫做十进制。平常我们用的就是。

我们设想，如果计分牌不是10种，而是0和1两种牌。那该怎么计分呢？那只能逢二进一了，这叫作“二进制”。计算机内部用的是二进制。

我们再设想，如果计分牌有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E和F，共16种牌，其中A、B、C、D、E依次代表10、11、12、13、14和15。计分时，逢十六进一，这叫作十六进制。

3种方法的计分情况，见表1-1。从表中可看出，4位二进制数相当于1位十六进制数，它俩一个个相互对应。计分至15时，二进制1111与十六进制F相对应。此时，如果各再增1分，则二者都同时向高位进位，分别进位成为10000和10。这进位的1分是顶十进制16分的。

如果用二进制计分牌计分和进位，最后的得分为11101101101101，则表示十进制是多少分呢？我们可从右至左，每4位用一空格隔开，得：0011 1011 0110 1101，分别写出它们所对应的十六进制数得：3 B 6 D。

3B6D是4位十六进制数。此数的每一位满16都要向高位进位。最低位的1分顶1分；高1位则是1分顶16分；高两位则1分顶16×16分；高3位则1分顶16×16×16分……可按此规律，计算得分如下：

十六进制数3 B 6 D = 3×16×16×16 ＋ B×16×16 ＋ 6×16 ＋ D

=12288＋11×16×16＋96＋13=15213（此即十进制得分）

1.1.2 二进制怎样表示全正数和正负数

将表1-1中4位二进制数的全部16个数围成一圈，如图1.1所示。我们设想，在图中A点处把圆周剪开，然后把圆周拉直，竖立起来如图1.2所示。在此图中表示了与十进制数0～15相对应的全正数的4位二进制数。那么，要表明负数怎么办？

如果我们在图1.1中的B点处把圆周剪开，然后把圆周拉直，竖立起来如图1.3所示。此图的上半部0000～0111表示了十进制的正数0～7，下半部1000～1111则表示了十进制的负数−8～−1。这样看来，对于有正负的二进制数，其最高位为0者为正数，最高位为1者为负数。从最高位就能判别数的正负，因此，对于有正负的二进制数，其最高位就被称之为符号位。符号位如图1.3中所示。

图1.3 有正负4位二进制数

读者会问，图1.3中，0000以下的数分明比上半部的数更大，为何反说是负数呢？我们可认为，这些数个个都背了一笔巨债10000（二进制）。因此它们不是“富翁”，而是“负翁”。比如，拿负翁1011来说，负多少？观察可知，若支援它0101，则与1011相加就是10000，就可还清债务啦。可见负翁1011实际是负0101，即负5（十进制）。可见，要问负翁负多少，就看它要还清巨债还差多少。差多少就说明它负多少。

事实上，负数应该是比0000小的数，比如负5，应该由0000-0101计算而得。

但不好减而向高位借位，算式变为10000-0101，算得结果为1011。因借位而成为“负翁”。

综上可见，4位二进制数可表示全正数范围为0000～1111，即0～15；正负数范围为1000～0111，即−8～7。对更多位二进制数可作类似分析。比如，8位二进制数全正数范围为00000000～11111111，即0～255；正负数范围为10000000～01111111，即−128～127。

1.1.3 计算机中二进制数怎样存储

计算机内部用二进制表示各种数据，每8位二进制数称为一个字节。计算机数据存储在内存中，内存由一个个内存单元组成。一个内存单元可存储一个字节，即8位二进制数。

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